如果对于随机变量 X X X的分布函数 F ( x ) F(x) F(x)，存在非负可积函数 f ( x ) f(x) f(x)，使对于任意实数 x x x有 F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t , F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)dt, F(x)=∫−∞x​f(t)dt, 则称 X X X为连续型随机变量， f ( x ) f(x) f(x)称为的概率密度函数，简称概率密度.

( 1 ) f ( x ) ⩾ 0 ;    (1)f(x)\geqslant0;\; (1)f(x)⩾0;

( 2 ) ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = 1 ; (2)\int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=1; (2)∫−∞∞​f(x)dx=1;

( 3 ) 对 于 任 意 实 数 x 1 , x 2 , ( x 1 ≤ x 2 ) (3)对于任意实数x_1,x_2,(x_{1} \leq x_{2}) (3)对于任意实数x1​,x2​,(x1​≤x2​) P { x 1 < X ≤ x 2 } = F ( x 2 ) − F ( x 1 ) = ∫ x 1 x 2 f ( x ) d x ; {P}\{x_1X=a}=0.

若连续型随机变量 X X X具有概率密度 f ( x ) = { 1 b − a , a < x < b ， 0 , 其 他 ， f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{b-a}, & aθ1​e−θx​，0,​x>0,其他,​ 其中 θ > 0 \theta>0 θ>0为常数，则称 X X X服从参数为 θ \theta θ的指数分布. X X X的分布函数为 F ( x ) = { 1 − e − x θ ， x > 0 , 0 , 其 他 , F(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1- e^{-\frac{x}{\theta} }，&x>0,\\ 0, & 其他, \end{array}\right. F(x)={1−e−θx​，0,​x>0,其他,​ 服从指数分布的随机变量 X X X具有以下有趣的性质: 对于任意 s , t > 0 , s,t>0, s,t>0,有 P { X > s + t ∣ X > s } = P { X > t } P\{X>s+t|X>s\}=P\{X>t\} P{X>s+t∣X>s}=P{X>t} 称为无记忆性.

若连续型随机变量 X X X的概率密度为 f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 , − ∞ < x < ∞ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} },-\inftyδX−μ​≤δx−μ​}=Φ(δx−μ​)​ 对于任意区间 ( x 1 , x 2 ] (x_1,x_2] (x1​,x2​]，有 P { x 1 < X ≤ x 2 } = P { x 1 − μ δ < X − μ δ ≤ x 2 − μ δ } = Φ ( x 2 − μ δ ) − Φ ( x 1 − μ δ ) \begin{aligned}&P\left\{x_{1}δx1​−μ​ z α } = α , 0 < α < 1 , p\{X>z_\alpha\}=\alpha,0fX​[h(y)]∣h′y∣,0,​αg(−∞),g(∞)}， h ( y ) h(y) h(y)是 g ( x ) g(x) g(x)的反函数.

( 1 ) 设 随 机 变 量 ， 那 么 X 的 线 性 函 数 Y = a X + b ( a ≠ 0 ) 也 服 从 正 态 分 布 . (1)设随机变量，那么X的线性函数Y=aX+b(a\not =0)也服从正态分布. (1)设随机变量，那么X的线性函数Y=aX+b(a​=0)也服从正态分布. ( 2 ) 设 f ( x ) , g ( x ) 都 是 概 率 密 度 函 数 ， 那 么 (2)设f(x),g(x)都是概率密度函数，那么 (2)设f(x),g(x)都是概率密度函数，那么 h ( x ) = a f ( x ) + ( 1 − a ) g ( x ) , 0 ≤ a ≤ 1 h(x)=af(x)+(1-a)g(x),0 \leq a \leq 1 h(x)=af(x)+(1−a)g(x),0≤a≤1 也 是 一 个 概 率 密 度 函 数 . 也是一个概率密度函数. 也是一个概率密度函数. ( 3 ) 设 X 服 从 参 数 为 θ 的 指 数 分 布 ， F ( x ) 为 X 的 分 布 函 数 ， 设 Y = F ( X ) ， 那 么 (3)设X服从参数为\theta的指数分布，F(x)为X的分布函数，设Y=F(X)，那么 (3)设X服从参数为θ的指数分布，F(x)为X的分布函数，设Y=F(X)，那么 Y ∼ N ( 0 , 1 ) . Y \sim N(0,1). Y∼N(0,1).